3. (1 балл) Вычислите \( \frac{15 \cdot 12^2 \cdot 18^4}{9^5 \cdot 20^2} \).

Решение:

Приведём числа к простым множителям:

\( 15 = 3 \cdot 5 \)

\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)

\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)

\( 9 = 3^2 \)

\( 20 = 2^2 \cdot 5 \)

Теперь подставим разложения в выражение:

\( \frac{(3 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3)^2 \cdot (2 \cdot 3^2)^4}{(3^2)^5 \cdot (2^2 \cdot 5)^2} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 2^4 \cdot 3^2 \cdot 2^4 \cdot 3^8}{3^{10} \cdot 2^4 \cdot 5^2} \)

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\( \frac{2^{4+4} \cdot 3^{1+2+8} \cdot 5^1}{2^4 \cdot 3^{10} \cdot 5^2} = \frac{2^8 \cdot 3^{11} \cdot 5^1}{2^4 \cdot 3^{10} \cdot 5^2} \)

Сократим степени:

\( 2^{8-4} \cdot 3^{11-10} \cdot 5^{1-2} = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^{-1} = \frac{2^4 \cdot 3}{5} = \frac{16 \cdot 3}{5} = \frac{48}{5} \)

Переведём в десятичную дробь:

\( \frac{48}{5} = 9.6 \)

Ответ: 9.6