22. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 78°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точка пересечения касательных — точка P. Тогда \( \angle APB = 78° \).

Рассмотрим четырехугольник APBO. Углы \( \angle OAP \) и \( \angle OBP \) равны 90°, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

\( \angle APB + \angle OAP + \angle OBP + \angle AOB = 360° \)

\( 78° + 90° + 90° + \angle AOB = 360° \)

\( 258° + \angle AOB = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 258° \)

\( \angle AOB = 102° \)

Теперь рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы). Следовательно, \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов треугольника ABO равна 180°:

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \)

\( 2 \cdot \angle OBA + 102° = 180° \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 180° - 102° \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 78° \)

\( \angle OBA = \frac{78°}{2} \)

\( \angle OBA = 39° \)

Ответ: 39°.