21. Площадь прямоугольного треугольника равна 2√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90° \). Пусть \( \angle A = 60° \), тогда \( \angle B = 30° \). Площадь треугольника \( S = 2\sqrt{3} \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

В данном треугольнике катет, прилежащий к углу \( 60° \), — это катет AC (обозначим его как \( b \)). Катет, противолежащий углу \( 60° \), — это катет BC (обозначим его как \( a \)).

Из тригонометрии:

\( \tan(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} \)

\( \sqrt{3} = \frac{a}{b} \) => \( a = b\sqrt{3} \).

Теперь подставим это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} b (b\sqrt{3}) = \frac{b^2\sqrt{3}}{2} \)

Мы знаем, что \( S = 2\sqrt{3} \). Приравняем:

\( 2\sqrt{3} = \frac{b^2\sqrt{3}}{2} \)

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( 2 = \frac{b^2}{2} \)

\( b^2 = 4 \)

\( b = 2 \) (длина катета не может быть отрицательной).

Итак, длина катета, прилежащего к углу 60°, равна 2.

Ответ: 2.