22. (3 балла) Исследуйте функцию y=2х³-3х²+5 с помощью производной и постройте ее график.

Исследование функции \( y = 2x^3 - 3x^2 + 5 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \) (интервал \( (-\infty, +\infty) \)).

2. Нули функции: Решим уравнение \( 2x^3 - 3x^2 + 5 = 0 \). Это кубическое уравнение. Попытаемся найти рациональные корни. Возможные рациональные корни \( \pm 1, \pm 5, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{5}{2} \).

Подставим \( x = -1 \): \( 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 5 = 2(-1) - 3(1) + 5 = -2 - 3 + 5 = 0 \).

Значит, \( x = -1 \) — один из корней. Разделим многочлен \( 2x^3 - 3x^2 + 5 \) на \( (x+1) \).

\( (2x^3 - 3x^2 + 5) : (x+1) = 2x^2 - 5x + 5 \).

Теперь решим квадратное уравнение \( 2x^2 - 5x + 5 = 0 \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4(2)(5) = 25 - 40 = -15 \). Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственный корень функции — \( x = -1 \).

3. Промежутки монотонности (возрастание/убывание):

Найдем производную функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 5) = 6x^2 - 6x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6x^2 - 6x = 0 \]\[ 6x(x - 1) = 0 \]

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).

Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \) и \( (1, +\infty) \).

Исследуем знак производной:

• На \( (-\infty, 0) \) (например, \( x = -1 \)): \( y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (0, 1) \) (например, \( x = 0.5 \)): \( y'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (1, +\infty) \) (например, \( x = 2 \)): \( y'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0 \). Функция возрастает.

4. Точки экстремума:

* При \( x = 0 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, это точка локального максимума.

Значение функции в точке максимума: \( y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 5 = 5 \).

Точка максимума: \( (0, 5) \).

* При \( x = 1 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), значит, это точка локального минимума.

Значение функции в точке минимума: \( y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 5 = 2 - 3 + 5 = 4 \).

Точка минимума: \( (1, 4) \).

5. Точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости:

Найдем вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) = 12x - 6 \]

Приравняем вторую производную к нулю:

\[ 12x - 6 = 0 \]\[ 12x = 6 \]\[ x = \frac{6}{12} = 0.5 \]

Точка \( x = 0.5 \) — точка перегиба.

Исследуем знак второй производной:

• На \( (-\infty, 0.5) \) (например, \( x = 0 \)): \( y''(0) = 12(0) - 6 = -6 < 0 \). Функция выпукла вверх (вогнута).
• На \( (0.5, +\infty) \) (например, \( x = 1 \)): \( y''(1) = 12(1) - 6 = 6 > 0 \). Функция выпукла вниз (выпукла).

Значение функции в точке перегиба: \( y(0.5) = 2(0.5)^3 - 3(0.5)^2 + 5 = 2(0.125) - 3(0.25) + 5 = 0.25 - 0.75 + 5 = 4.5 \).

Точка перегиба: \( (0.5, 4.5) \).

6. Асимптоты: Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси и является многочленом.

7. Построение графика:

Отметим найденные точки:

• Корень: \( (-1, 0) \)
• Точка максимума: \( (0, 5) \)
• Точка минимума: \( (1, 4) \)
• Точка перегиба: \( (0.5, 4.5) \)

Вывод: Функция возрастает на \( (-\infty, 0) \) и \( (1, +\infty) \), убывает на \( (0, 1) \). Имеет максимум в точке \( (0, 5) \) и минимум в точке \( (1, 4) \). Точка перегиба — \( (0.5, 4.5) \).