15. (1 балл) Решите уравнение cos2x+cosx = 0.

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \).

Подставляем в уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) = 0 \]

Пусть \( t = \cos(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 + t - 1 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение относительно \( t \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).

Корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь возвращаемся к \( \cos(x) \):

1) \( \cos(x) = \frac{1}{2} \)

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( \cos(x) = -1 \)

\( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = \pi + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.