21. (3 балла) Решите уравнение sin²x+sinxcosx = 2cos²x.

Решение:

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2(x) \), предполагая, что \( \cos(x) \neq 0 \).

\( \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} = \frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \)

\( \operatorname{tg}^2(x) + \operatorname{tg}(x) = 2 \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ \operatorname{tg}^2(x) + \operatorname{tg}(x) - 2 = 0 \]

Пусть \( y = \operatorname{tg}(x) \). Уравнение примет вид:

\[ y^2 + y - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь возвращаемся к \( \operatorname{tg}(x) \):

1) \( \operatorname{tg}(x) = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( \operatorname{tg}(x) = -2 \)

\( x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n \), где \( n \) — целое число. (или \( x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n \))

Проверим условие \( \cos(x) \neq 0 \). Если \( \cos(x) = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \). В этом случае \( \sin(x) = \pm 1 \), \( \sin^2(x) = 1 \), \( \sin(x)\cos(x) = 0 \), \( \cos^2(x) = 0 \). Уравнение станет \( 1 + 0 = 0 \), что неверно. Следовательно, \( \cos(x) \neq 0 \) для решений исходного уравнения.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.