19. (3 балла) Найдите промежутки убывания функции f(x) = 3x³-6x²+4.

Решение:

Чтобы найти промежутки убывания функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и определить знаки на интервалах.

Найдем производную функции \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 4 \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x^2 + 4) = 9x^2 - 12x \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 9x^2 - 12x = 0 \]\[ 3x(3x - 4) = 0 \]

Отсюда получаем два критических значения \( x \):

\[ 3x = 0 \implies x_1 = 0 \]\[ 3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{3} \]

Эти значения делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{4}{3}) \) и \( (\frac{4}{3}, +\infty) \).

Исследуем знак производной на каждом интервале:

• Возьмем \( x = -1 \) (интервал \( (-\infty, 0) \)): \( f'(-1) = 9(-1)^2 - 12(-1) = 9 + 12 = 21 > 0 \). Функция возрастает.
• Возьмем \( x = 1 \) (интервал \( (0, \frac{4}{3}) \)): \( f'(1) = 9(1)^2 - 12(1) = 9 - 12 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• Возьмем \( x = 2 \) (интервал \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)): \( f'(2) = 9(2)^2 - 12(2) = 9(4) - 24 = 36 - 24 = 12 > 0 \). Функция возрастает.

Функция убывает на интервале, где её производная отрицательна.

Ответ: функция убывает на промежутке \( \left( 0, \frac{4}{3} \right) \).