21. (3 балла). Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями: y=(x+2)², y=0, x=0.

Решение:

Фигура ограничена параболой \( y = (x+2)^2 \), осью абсцисс \( y = 0 \) и осью ординат \( x = 0 \).

1. Рисунок: Парабола \( y = (x+2)^2 \) — это парабола \( y=x^2 \), смещённая на 2 единицы влево. Она пересекает ось X в точке \( x = -2 \) (вершина параболы). Ось Y пересекает в точке \( (0, 4) \). Ось X — это нижняя граница. Ось Y — правая граница. Левая граница фигуры — точка пересечения параболы с осью X, то есть \( x = -2 \).
2. Интегрирование: Площадь фигуры можно найти с помощью определённого интеграла. Интегрируем функцию \( y = (x+2)^2 \) по \( x \) от нижней границы \( x = -2 \) до верхней границы \( x = 0 \).
3. \( S = \int_{-2}^{0} (x+2)^2 dx \)
4. Раскроем скобки: \( S = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx \)
5. Проинтегрируем по частям: \( S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{0} \)
6. \( S = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0} \)
7. Подставим верхний предел (0): \( \left( \frac{0^3}{3} + 2(0)^2 + 4(0) \right) = 0 \).
8. Подставим нижний предел (-2): \( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) = \frac{-8}{3} + 2(4) - 8 = -\frac{8}{3} + 8 - 8 = -\frac{8}{3} \).
9. Вычислим разность: \( S = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3} \).

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{8}{3} \) квадратных единиц.