17. (1 балл). Решите неравенство 6^x + 6^{-x} > 2

Решение:

1. Обозначим \( y = 6^x \). Тогда \( 6^{-x} = \frac{1}{6^x} = \frac{1}{y} \).
2. Неравенство примет вид: \( y + \frac{1}{y} > 2 \).
3. Перенесем 2 в левую часть: \( y + \frac{1}{y} - 2 > 0 \).
4. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{y^2 + 1 - 2y}{y} > 0 \).
5. \( \frac{(y-1)^2}{y} > 0 \).
6. Так как \( y = 6^x \), то \( y > 0 \) всегда. Квадрат \( (y-1)^2 \) также всегда \( \ge 0 \).
7. Дробь будет положительной, когда числитель положителен, а знаменатель положителен, ИЛИ когда числитель отрицателен, а знаменатель отрицателен.
8. \( (y-1)^2 \) равно нулю при \( y=1 \). В этом случае дробь равна 0, что не удовлетворяет неравенству \( > 0 \).
9. Следовательно, \( (y-1)^2 > 0 \) и \( y > 0 \).
10. \( y-1 \neq 0 \), то есть \( y \neq 1 \).
11. \( y = 6^x \neq 1 \).
12. \( 6^x \neq 6^0 \), следовательно \( x \neq 0 \).

Ответ: \( x \in \mathbb{R}, x \neq 0 \).