12. (1 балл). Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x - 3x^2 в точке x_0 = 4.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 4 \): \( f(4) = 4 - 3(4^2) = 4 - 3(16) = 4 - 48 = -44 \).
2. Найдем производную функции: \( f'(x) = (x - 3x^2)' = 1 - 6x \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 4 \): \( f'(4) = 1 - 6(4) = 1 - 24 = -23 \).
4. Подставим значения в уравнение касательной: \( y - (-44) = -23(x - 4) \)
5. \( y + 44 = -23x + 92 \)
6. \( y = -23x + 92 - 44 \)
7. \( y = -23x + 48 \).

Ответ: \( y = -23x + 48 \).