18. (1 балл). Построить сечение куба ABCD A₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки: А1; M ∈ B₁C1; N ∈ AD.

Решение:

Для построения сечения нам понадобятся точки \( A_1 \), \( M \) (точка на ребре \( B_1C_1 \)) и \( N \) (точка на ребре \( AD \)).

1. Шаг 1: Определяем плоскость. Плоскость проходит через три заданные точки: \( A_1 \), \( M \), \( N \).
2. Шаг 2: Находим точки пересечения плоскости с рёбрами куба.
• Точки \( A_1 \) и \( N \) уже лежат на гранях куба.
• Точка \( M \) лежит на ребре \( B_1C_1 \).
• Проведём прямую через \( N \) параллельно \( A_1D_1 \) (так как \( AD \parallel BC \) и \( A_1D_1
  \parallel B_1C_1 \)). Эта прямая пересечёт ребро \( CD \) в точке \( P \).
• Теперь у нас есть точки \( N \) (на \( AD \)), \( A_1 \) (на \( AA_1 \)), \( M \) (на \( B_1C_1 \)), \( P \) (на \( CD \)).
• Плоскость \( NAM \) пересечёт грань \( ABCD \) по отрезку \( NP \), где \( P \) - точка пересечения прямой, проходящей через \( N \) параллельно \( B_1C_1 \), с ребром \( CD \).
• Плоскость \( NAM \) пересечёт грань \( A_1B_1C_1D_1 \) по отрезку \( A_1M \).
• Плоскость \( NAM \) пересечёт грань \( DD_1C_1C \) по отрезку \( MP \).
• Плоскость \( NAM \) пересечёт грань \( AA_1D_1D \) по отрезку \( NA_1 \).
• Плоскость \( NAM \) пересечёт грань \( ABB_1A_1 \) по отрезку \( A_1M \) (если \( M \) лежит на \( B_1C_1 \)).
• Плоскость \( NAM \) пересечёт грань \( BCC_1B_1 \) по отрезку \( MN \).
3. Шаг 3: Соединяем точки. Сечением будет четырёхугольник \( NA_1MP \), где \( P \) — точка на \( CD \), такая что \( NP
   \parallel A_1M \).

Для точного построения требуется рисунок куба. Сечением будет четырёхугольник, вершины которого лежат на рёбрах куба.