21) (3 балла) Решите неравенство log₃(4x + 3) ≤ 2

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_a f(x) \le b \) необходимо учесть два условия:

1. Область определения логарифма: аргумент должен быть больше нуля. \( 4x + 3 > 0 \).

2. Само неравенство, учитывая основание логарифма.

Шаг 1: Найдем область определения.

\( 4x + 3 > 0 \)

\( 4x > -3 \)

\( x > -\frac{3}{4} \).

Шаг 2: Решим само неравенство.

Так как основание логарифма \( a = 3 \) больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе от логарифма к степени знак неравенства сохраняется.

\( 4x + 3 \le 3^2 \).

\( 4x + 3 \le 9 \).

\( 4x \le 9 - 3 \).

\( 4x \le 6 \).

\( x \le \frac{6}{4} \).

\( x \le \frac{3}{2} \).

Шаг 3: Объединим условия.

Нам нужно найти значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям:

\( x > -\frac{3}{4} \) и \( x \le \frac{3}{2} \).

Объединяя эти условия, получаем:

\( -\frac{3}{4} < x \le \frac{3}{2} \).

В виде интервала это записывается как \( (-\frac{3}{4}; \frac{3}{2}] \).

Ответ: \( -\frac{3}{4} < x \le \frac{3}{2} \) или \( (-\frac{3}{4}; \frac{3}{2}] \)