19) (3 балла) Докажите тождество \( \(\frac{1 - 4\sin^2 2 · · · \cos^2 2 \alpha}{\cos^2 2 · · · \alpha - \sin^2 2 · · · \alpha}\) = \(\cos\) 2\(\alpha\)

Решение:

Возьмём левую часть тождества и преобразуем её, используя известные тригонометрические формулы.

Левая часть: \( \frac{1 - 4\sin^2 2 · · · \cos^2 2 · · · \alpha}{\cos^2 2 · · · \alpha - \sin^2 2 · · · \alpha} \).

В знаменателе мы видим формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2 2 · · · \alpha - \sin^2 2 · · · \alpha \).

Теперь рассмотрим числитель: \( 1 - 4\sin^2 2 · · · \cos^2 2 · · · \alpha \).

Мы можем представить \( 1 \) как \( \sin^2 2 · · · \alpha + \cos^2 2 · · · \alpha \) (основное тригонометрическое тождество).

\( 1 - 4\sin^2 2 · · · \cos^2 2 · · · \alpha = (\sin^2 2 · · · \alpha + \cos^2 2 · · · \alpha) - 4\sin^2 2 · · · \cos^2 2 · · · \alpha \).

\( = \cos^2 2 · · · \alpha - \sin^2 2 · · · \alpha - 2\sin^2 2 · · · \alpha \) (сгруппировали \( 2\sin^2 2 · · · \cos^2 2 · · · \alpha + 2\sin^2 2 · · · \cos^2 2 · · · \alpha \) и использовали \( \cos^2 2 · · · \alpha - \sin^2 2 · · · \alpha \) как \( \cos(2\alpha) \) — это было бы ошибкой. Попробуем иначе.

Попробуем преобразовать числитель, используя формулу \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \). Тогда \( \sin^2(2\alpha) = 4\sin^2 2 · · · \cos^2 2 · · · \alpha \).

Тогда числитель выглядит как \( 1 - \sin^2(2\alpha) \).

Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \sin^2(β) = \cos^2(β) \).

Значит, числитель равен \( \cos^2(2\alpha) \).

Теперь вся дробь:

\( \frac{\cos^2(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \).

Сокращаем \( \cos(2\alpha) \) (при условии, что \( \cos(2\alpha) \neq 0 \)).

Получаем \( \cos(2\alpha) \).

Это соответствует правой части тождества. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.