20. Упростите выражение: \( \sqrt[8]{\frac{16}{x^8}} \).

Решение:

Чтобы упростить выражение \( \sqrt[8]{\frac{16}{x^8}} \), воспользуемся свойствами корней и степеней.

Сначала применим свойство \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \):

\[ \sqrt[8]{\frac{16}{x^8}} = \frac{\sqrt[8]{16}}{\sqrt[8]{x^8}} \]

Теперь упростим каждую часть:

1. \( \sqrt[8]{16} \). Так как \( 16 = 2^4 \), то \( \sqrt[8]{16} = \sqrt[8]{2^4} \). Используя свойство \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \), получаем \( 2^{\frac{4}{8}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \).
2. \( \sqrt[8]{x^8} \). Используя свойство \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \), получаем \( |x| \).

Объединим полученные результаты:

\[ \frac{\sqrt{2}}{|x|} \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{|x|} \)