2) cos 2x + 3 cos x = 1

2) \( \text{cos } 2x + 3 \text{cos } x = 1 \)

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \text{cos } 2x = 2 \text{cos}^2 x - 1 \).

\( (2 \text{cos}^2 x - 1) + 3 \text{cos } x = 1 \)

\( 2 \text{cos}^2 x + 3 \text{cos } x - 2 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \text{cos } x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2t^2 + 3t - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).

\( t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\( t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Теперь вернемся к замене:

1. \( \text{cos } x = \frac{1}{2} \) \(\implies\) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \text{cos } x = -2 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( -1 \le \text{cos } x \le 1 \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).