5. Решить неравенство: cos 2x > 0

Решение:

Решим неравенство \( \cos 2x > 0 \).

Сначала решим уравнение \( \cos 2x = 0 \).

\( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \).

На единичной окружности значения \( \cos \theta > 0 \) соответствуют углам, лежащим в I и IV четвертях.

Для \( 2x \) это означает, что \( 2x \) должен лежать в интервалах \( \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \).

Разделим на 2:

\( x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n\right) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n\right) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).