19. (3 балла) Решить уравнение (6x-5)√(2x²-5x+2) = 0

Решение:

Уравнение имеет вид произведения, равного нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю.

1. Первый множитель:

$$6x - 5 = 0$$

$$6x = 5$$

$$x = \frac{5}{6}$$

2. Второй множитель (подкоренное выражение):

$$√{2x^2 - 5x + 2} = 0$$

Возведем обе части в квадрат:

$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9$$.

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.

$$x_2 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$.

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию неотрицательности подкоренного выражения.

Для $$x = \frac{5}{6}$$: $$2(\frac{5}{6})^2 - 5(\frac{5}{6}) + 2 = 2(\frac{25}{36}) - \frac{25}{6} + 2 = \frac{25}{18} - \frac{75}{18} + \frac{36}{18} = \frac{25 - 75 + 36}{18} = \frac{-14}{18} < 0$$. Значит, $$x = \frac{5}{6}$$ не является корнем.

Для $$x = \frac{1}{2}$$: $$2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 2 = 2(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + \frac{4}{2} = \frac{1 - 5 + 4}{2} = \frac{0}{2} = 0$$. Значит, $$x = \frac{1}{2}$$ является корнем.

Для $$x = 2$$: $$2(2)^2 - 5(2) + 2 = 2(4) - 10 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$$. Значит, $$x = 2$$ является корнем.

Ответ: $$x = \frac{1}{2}, x = 2$$