13. (1 балл) Решите уравнение 3x²-4x = 243.

Решение:

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $$ax^2 + bx + c = 0$$.

$$3x^2 - 4x - 243 = 0$$.

Найдем дискриминант ($$D$$) по формуле $$D = b^2 - 4ac$$.

$$a = 3$$, $$b = -4$$, $$c = -243$$.

$$D = (-4)^2 - 4 \times 3 \times (-243) = 16 + 12 \times 243 = 16 + 2916 = 2932$$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{2932}}{2 \times 3} = \frac{4 - \sqrt{2932}}{6}$$.

$$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{2932}}{2 \times 3} = \frac{4 + \sqrt{2932}}{6}$$.

Чтобы упростить $$\sqrt{2932}$$, найдем множители числа 2932. $$2932 = 4 \times 733$$.

Так как 733 — простое число, то $$\sqrt{2932} = \sqrt{4 \times 733} = 2\sqrt{733}$$.

Теперь подставим это обратно в формулы для корней:

$$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{733}}{6} = \frac{2(2 - \sqrt{733})}{6} = \frac{2 - \sqrt{733}}{3}$$.

$$x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{733}}{6} = \frac{2(2 + \sqrt{733})}{6} = \frac{2 + \sqrt{733}}{3}$$.

Ответ: $$x_1 = \frac{2 - \sqrt{733}}{3}$$, $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{733}}{3}$$