15. (2 балла) Найдите все решения уравнения cos 2x - cos²x - √2/2 = 0, принадлежащие отрезку [-π; π].

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$$.

Подставим это в исходное уравнение:

$$ (2\cos^2(x) - 1) - \cos^2(x) - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 $$

Приведем подобные члены:

$$ \cos^2(x) - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 $$

$$ \cos^2(x) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей:

$$ \cos(x) = \pm \sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} $$

Заметим, что $$1 + \frac{\sqrt{2}}{2} > 1$$ (так как $$\frac{\sqrt{2}}{2} ≈ 0.707$$).

Следовательно, $$\sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} > 1$$.

Поскольку значение косинуса любого угла не может быть больше 1 или меньше -1, то есть $$-1 ≤ \cos(x) ≤ 1$$, то у нашего уравнения нет решений.

Ответ: Нет решений.