12. (1 балл) Для одного из предприятий зависимость объема спроса на продукцию k (единиц в месяц) от цены q (тыс. руб.) задается формулой k = 150 - 10q. Определите максимальный уровень цены q (тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц p = q ⋅ k составило бы не менее 260 тыс. рублей.

Решение:

Дано:

• Зависимость спроса от цены: $$k = 150 - 10q$$
• Выручка: $$p = q \times k$$
• Условие: $$p ≥ 260$$ (тыс. руб.)

1. Выразим выручку через цену $$q$$:

$$p = q \times k = q \times (150 - 10q) = 150q - 10q^2$$.

2. Составим неравенство согласно условию:

$$150q - 10q^2 ≥ 260$$.

3. Преобразуем неравенство:

$$10q^2 - 150q + 260 ≤ 0$$.

Разделим обе части на 10:

$$q^2 - 15q + 26 ≤ 0$$.

4. Найдем корни квадратного уравнения $$q^2 - 15q + 26 = 0$$.

Используем теорему Виета или дискриминант.

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \times 1 \times 26 = 225 - 104 = 121$$.

Корни: $$q_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$$.

$$q_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 11}{2} = \frac{26}{2} = 13$$.

5. Решим неравенство $$q^2 - 15q + 26 ≤ 0$$.

Парабола $$y = q^2 - 15q + 26$$ ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями $$q=2$$ и $$q=13$$.

Итак, $$2 ≤ q ≤ 13$$.

6. Определим максимальный уровень цены $$q$$.

Максимальное значение $$q$$ в этом интервале равно 13.

7. Проверим условие $$k ≥ 0$$.

$$k = 150 - 10q$$. При $$q=13$$, $$k = 150 - 10 \times 13 = 150 - 130 = 20$$. Так как $$20 ≥ 0$$, условие выполняется.

Ответ: 13 тыс. руб.