14. (1 балл) Найдите наибольшее значение функции y=2х³-15х² +24х+3 на отрезке [2; 3].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:

$$y' = (2x^3 - 15x^2 + 24x + 3)' = 6x^2 - 30x + 24$$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$$6x^2 - 30x + 24 = 0$$.

Разделим уравнение на 6:

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 4$$.

3. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок [2; 3].

$$x_1 = 1$$ не входит в отрезок [2; 3].

$$x_2 = 4$$ не входит в отрезок [2; 3].

4. Вычислим значения функции на концах отрезка [2; 3]:

При $$x = 2$$:

$$y(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 24(2) + 3 = 2(8) - 15(4) + 48 + 3 = 16 - 60 + 48 + 3 = 7$$.

При $$x = 3$$:

$$y(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 24(3) + 3 = 2(27) - 15(9) + 72 + 3 = 54 - 135 + 72 + 3 = -6$$.

5. Сравним полученные значения.

Наибольшее значение функции на отрезке [2; 3] равно 7.

Ответ: 7