14. (1 балл) Найдите наибольшее значение функции y = 2х³ -15х² + 24х + 3 на отрезке [2; 3].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках (если они принадлежат отрезку) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:

\[ y' = (2x^3 - 15x^2 + 24x + 3)' = 6x^2 - 30x + 24 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 6x^2 - 30x + 24 = 0 \]

Разделим уравнение на 6:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).

\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

Критические точки: \( x = 1 \) и \( x = 4 \).

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку \( [2; 3] \).

Точка \( x = 1 \) не принадлежит отрезку \( [2; 3] \).

Точка \( x = 4 \) не принадлежит отрезку \( [2; 3] \).

4. Вычислим значения функции на концах отрезка:

При \( x = 2 \):

\[ y(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 24(2) + 3 = 2(8) - 15(4) + 48 + 3 = 16 - 60 + 48 + 3 = 7 \]

При \( x = 3 \):

\[ y(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 24(3) + 3 = 2(27) - 15(9) + 72 + 3 = 54 - 135 + 72 + 3 = -6 \]

5. Сравним полученные значения:

\[ y(2) = 7 \]

\[ y(3) = -6 \]

Наибольшее значение функции на отрезке \( [2; 3] \) равно \( 7 \).

Ответ: 7