11. (1 балл) Объем цилиндра равен 20 см³. Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а образующую уменьшили в 4 раза. Найдите объем получившегося цилиндра. Ответ дайте в см³.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $$V = \pi r^2 h$$, где $$r$$ — радиус основания, $$h$$ — высота (образующая).

Пусть $$V_1$$ — объем исходного цилиндра, $$r_1$$ — его радиус, $$h_1$$ — его высота. Тогда $$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 20$$ см³.

Радиус нового цилиндра $$r_2$$ увеличили в 3 раза: $$r_2 = 3r_1$$.

Образующую (высоту) нового цилиндра $$h_2$$ уменьшили в 4 раза: $$h_2 = \frac{h_1}{4}$$.

Объем нового цилиндра $$V_2$$ будет равен:

$$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (3r_1)^2 (\frac{h_1}{4}) = \pi (9r_1^2) (\frac{h_1}{4}) = 9 \times \frac{1}{4} \times (\pi r_1^2 h_1) = \frac{9}{4} V_1$$.

Так как $$V_1 = 20$$ см³:

$$V_2 = \frac{9}{4} \times 20 = 9 \times 5 = 45$$ см³.

Ответ: 45 см³