18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций у=х+1 и у=2х² и при помощи интеграла найдите ее площадь

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций:

Приравняем правые части уравнений:

\[ x+1 = 2x^2 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 2x^2 - x - 1 = 0 \].

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).

Корни:

\[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \].

\[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \].

Найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x = 1 \): \( y = 1+1 = 2 \) (или \( y = 2(1)^2 = 2 \)). Точка пересечения: \( (1, 2) \).

При \( x = -\frac{1}{2} \): \( y = -\frac{1}{2}+1 = \frac{1}{2} \) (или \( y = 2(-\frac{1}{2})^2 = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \)). Точка пересечения: \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \).

2. Построим графики:

График \( y = x+1 \) — прямая, проходящая через точки \( (-1/2, 1/2) \) и \( (1, 2) \) (и \( (0, 1) \)).

График \( y = 2x^2 \) — парабола с вершиной в \( (0, 0) \), проходящая через точки \( (-1/2, 1/2) \) и \( (1, 2) \).

3. Вычислим площадь фигуры с помощью интеграла:

Площадь \( S \) фигуры, ограниченной сверху функцией \( y_{верх} = x+1 \) и снизу функцией \( y_{низ} = 2x^2 \) на интервале от \( x = -1/2 \) до \( x = 1 \), вычисляется как:

\[ S = \int_{-1/2}^{1} (y_{верх} - y_{низ}) dx = \int_{-1/2}^{1} ((x+1) - 2x^2) dx \]

\[ S = \int_{-1/2}^{1} (-2x^2 + x + 1) dx \]

Найдем первообразную:

\[ F(x) = -2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \].

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = F(1) - F(-1/2) \]

\[ F(1) = -2\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{-4 + 3 + 6}{6} = \frac{5}{6} \].

\[ F(-1/2) = -2\frac{(-1/2)^3}{3} + \frac{(-1/2)^2}{2} + (-\frac{1}{2}) = -2\frac{-1/8}{3} + \frac{1/4}{2} - \frac{1}{2} = -2(-\frac{1}{24}) + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \]

Общий знаменатель 24:

\[ F(-1/2) = \frac{2 + 3 - 12}{24} = \frac{-7}{24} \].

Теперь найдем площадь:

\[ S = \frac{5}{6} - (-\frac{7}{24}) = \frac{5}{6} + \frac{7}{24} = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \].

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{8} \) квадратных единиц.