17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию y=x³-(5/2)x²-2x+3/2 на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Для исследования функции найдем ее производную:

\( y' = (x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2})' \)

\( y' = 3x^2 - \frac{5}{2} · 2x - 2 \)

\( y' = 3x^2 - 5x - 2 \).

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

\( 3x^2 - 5x - 2 = 0 \).

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49 \).

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \u00B7 3} = \frac{5 \pm 7}{6} \).

\( x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \).

\( x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -1/3 \).

Эти точки являются критическими. Определим знаки производной на интервалах, образованных этими точками:

• При \( x < -1/3 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)^2 - 5(-1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -1/3 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 3(0)^2 - 5(0) - 2 = -2 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = 3(3)^2 - 5(3) - 2 = 27 - 15 - 2 = 10 > 0 \). Функция возрастает.

Точки экстремума:

• В точке \( x = -1/3 \) производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

\( y(-1/3) = (-1/3)^3 - \frac{5}{2}(-1/3)^2 - 2(-1/3) + \frac{3}{2} = -1/27 - \frac{5}{2}\cdot 1/9 + 2/3 + 3/2 = -1/27 - 5/18 + 2/3 + 3/2 \)

Приведем к общему знаменателю 54:

\( y(-1/3) = -2/54 - 15/54 + 36/54 + 81/54 = \frac{-2 - 15 + 36 + 81}{54} = \frac{100}{54} = \frac{50}{27} \).

\( y(2) = (2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 - 2(2) + \frac{3}{2} = 8 - \frac{5}{2}\cdot 4 - 4 + \frac{3}{2} = 8 - 10 - 4 + 3/2 = -6 + 3/2 = -12/2 + 3/2 = -9/2 \).

Ответ: Промежутки возрастания: \( (-\infty; -1/3] \) и \( [2; +\infty) \). Промежутки убывания: \( [-1/3; 2] \). Точка максимума: \( (-1/3; 50/27) \). Точка минимума: \( (2; -9/2) \).