16. (3 балла) Решите уравнение: 2sin²x - sinxcosx =0.

Решение:

Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (2 \sin x - \cos x) = 0 \).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( \sin x = 0 \).

Это уравнение имеет решения \( x = \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Случай 2: \( 2 \sin x - \cos x = 0 \).

Перенесем \( \cos x \) в правую часть:

\( 2 \sin x = \cos x \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и равенство \( 2 \cdot (\pm 1) = 0 \) не выполняется. Значит, \( \cos x \neq 0 \).

Разделим обе части на \( \cos x \):

\( 2 \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \)

\( 2 \tan x = 1 \)

\( \tan x = \frac{1}{2} \).

Это уравнение имеет решения \( x = \arctan{\frac{1}{2}} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi n \) и \( x = \arctan{\frac{1}{2}} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.