16. (3 балла) Решите уравнение: 2sin²x - sinxcosx =0.

Решение:

Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (2\sin x - \cos x) = 0 \).

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( \sin x = 0 \)
2. \( 2\sin x - \cos x = 0 \)

Решим первое уравнение:

\( \sin x = 0 \) \(\implies\) \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Решим второе уравнение:

\( 2\sin x - \cos x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и тогда \( 2(±1) - 0 = ±2 \neq 0 \), значит \( \cos x \neq 0 \)).

\( 2\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 0 \)

\( 2\operatorname{tg} x - 1 = 0 \)

\( 2\operatorname{tg} x = 1 \)

\( \operatorname{tg} x = 1/2 \)

\( x = \operatorname{arctg}(1/2) + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \operatorname{arctg}(1/2) + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).