16) В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке О. Площадь треугольника ABC равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде точка пересечения медиан основания (точка О) является центром вписанной и описанной окружностей. Высота пирамиды проходит через эту точку.

1. Найдем площадь основания \( S_{ABC} = 9 \).

2. Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot h \), где \( S_{base} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

3. Подставим известные значения: \( 6 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot h \).

\[ 6 = 3h \]

\[ h = \frac{6}{3} = 2 \]

4. Высота пирамиды — это отрезок \( SO \). Следовательно, \( SO = h = 2 \).

5. Нас просят найти длину отрезка \( OS \), что равно высоте пирамиды.

Ответ: 2.