15) Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: \( y = x^2 + 2 \), \( y = 0 \), \( x = -2 \), \( x = 1 \).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), где \( f(x) ≥ g(x) \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 + 2 \) (верхняя граница) и \( g(x) = 0 \) (нижняя граница). Отрезок интегрирования задан \( x = -2 \) ( \( a = -2 \)) и \( x = 1 \) ( \( b = 1 \)).

Поскольку \( x^2 + 2 \) всегда больше или равно 0, условие \( f(x) ≥ g(x) \) выполняется.

Вычислим интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2 - 0) dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C \]

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2 \cdot (-2) \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} + 2 \right) - \left( \frac{-8}{3} - 4 \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{3} + \frac{6}{3} \right) - \left( -\frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) \]

\[ S = \frac{7}{3} - \left( -\frac{20}{3} \right) \]

\[ S = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Ответ: 9.