15. (1 балл) Материальная точка движется по закону S(t) = 1/6 * t^3 - 3/2 * t^2 + 5t + 8 в метрах, t в секундах. В какой момент времени скорость точки будет равна 2 м/с?

Решение:

Скорость точки \( v(t) \) является первой производной от закона движения \( S(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{6} t^3 - \frac{3}{2} t^2 + 5t + 8 \right) \]

\[ v(t) = \frac{1}{6} \cdot 3t^2 - \frac{3}{2} \cdot 2t + 5 \]

\[ v(t) = \frac{1}{2} t^2 - 3t + 5 \]

По условию, скорость точки равна 2 м/с. Приравняем \( v(t) \) к 2:

\[ \frac{1}{2} t^2 - 3t + 5 = 2 \]

\[ \frac{1}{2} t^2 - 3t + 3 = 0 \]

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ t^2 - 6t + 6 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12 \]

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \]

Получаем два момента времени: \( t_1 = 3 - \sqrt{3} \) и \( t_2 = 3 + \sqrt{3} \).

Ответ: \( t = 3 \pm \sqrt{3} \) секунд.