13. Найдите область определения функции y = lg(x² + 2x).

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Для функции \( y = \lg(x^2 + 2x) \) это означает:

\( x^2 + 2x > 0 \)

Решим это квадратное неравенство. Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(x + 2) > 0 \)

Корни квадратного трехчлена \( x^2 + 2x \) равны \( x=0 \) и \( x=-2 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:

• \( (-\infty; -2) \)
• \( (-2; 0) \)
• \( (0; +\infty) \)

Проверим знак выражения \( x(x + 2) \) в каждом интервале:

• При \( x = -3 \) (интервал \( (-\infty; -2) \)): \( (-3)(-3 + 2) = (-3)(-1) = 3 > 0 \).
• При \( x = -1 \) (интервал \( (-2; 0) \)): \( (-1)(-1 + 2) = (-1)(1) = -1 < 0 \).
• При \( x = 1 \) (интервал \( (0; +\infty) \)): \( (1)(1 + 2) = (1)(3) = 3 > 0 \).

Неравенство \( x(x + 2) > 0 \) выполняется при \( x \) из интервалов \( (-\infty; -2) \) и \( (0; +\infty) \).

Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \).