12. Материальная точка движется по закону: x(t) = (1/3)t³ - 2t² + 1. Найти скорость точки в момент времени t=3с.

Решение:

Скорость точки \( v(t) \) является первой производной от закона движения \( x(t) \) по времени \( t \).

Найдем производную от \( x(t) \):

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} (\frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 1) \)

Применим правила дифференцирования:

\( v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^{3-1} - 2 \cdot 2t^{2-1} + 0 \)

\( v(t) = t^2 - 4t \).

Теперь найдем скорость в момент времени \( t=3 \) с. Подставим \( t = 3 \) в формулу для скорости:

\( v(3) = (3)^2 - 4 \cdot (3) \)

\( v(3) = 9 - 12 \)

\( v(3) = -3 \).

Ответ: Скорость точки в момент времени \( t=3 \) с равна -3 м/с.