12. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы при помощи производной \( f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{8} \).

Решение:

1. Находим производную функции:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{8}) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{2} \cdot 2x = x^3 - x \}

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

\( f'(x) = 0 \)
\[ x^3 - x = 0 \]
\[ x(x^2 - 1) = 0 \]
\[ x(x-1)(x+1) = 0 \]

Критические точки: \( x = -1, x = 0, x = 1 \).

3. Определяем промежутки монотонности и знаки производной:

Разделим числовую ось на промежутки по критическим точкам:

• Промежуток \( (-\infty, -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \( f'(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6 \). Производная отрицательна, функция убывает.
• Промежуток \( (-1, 0) \): Возьмем \( x = -0.5 \). \( f'(-0.5) = (-0.5)^3 - (-0.5) = -0.125 + 0.5 = 0.375 \). Производная положительна, функция возрастает.
• Промежуток \( (0, 1) \): Возьмем \( x = 0.5 \). \( f'(0.5) = (0.5)^3 - 0.5 = 0.125 - 0.5 = -0.375 \). Производная отрицательна, функция убывает.
• Промежуток \( (1, +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( f'(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 \). Производная положительна, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума:

• В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума.
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума.
• В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума.

5. Находим значения функции в точках экстремума:

• \( f(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{2 - 4 + 1}{8} = -\frac{1}{8} \)
• \( f(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{1}{2}(0)^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \)
• \( f(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = -\frac{1}{8} \)

Вывод:

• Функция убывает на промежутках \( (-\infty, -1] \) и \( [0, 1] \).
• Функция возрастает на промежутках \( [-1, 0] \) и \( [1, +\infty) \).
• Точка минимума: \( x = -1 \), \( f(-1) = -\frac{1}{8} \).
• Точка максимума: \( x = 0 \), \( f(0) = \frac{1}{8} \).
• Точка минимума: \( x = 1 \), \( f(1) = -\frac{1}{8} \).