16. Миксбордер имеет контур, заданный линиями f(x) = x, f(x) = 2x, x = 3. Найти площадь данного участка земли, используя определенный интеграл.

Решение:

Участок земли ограничен тремя линиями: \( y = x \), \( y = 2x \) и \( x = 3 \).

Линии \( y = x \) и \( y = 2x \) пересекаются в точке \( (0, 0) \).

Нас интересует область между \( y = x \) и \( y = 2x \) от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).

Площадь между двумя кривыми \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на интервале \( [a, b] \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом интервале, вычисляется по формуле:

\[ A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \]

В данном случае, на интервале \( [0, 3] \), функция \( y = 2x \) находится выше функции \( y = x \) (поскольку \( 2x \ge x \) при \( x \ge 0 \)).

Следовательно, \( f(x) = 2x \) и \( g(x) = x \). Пределы интегрирования \( a = 0 \) и \( b = 3 \).

Вычислим площадь:

\[ A = \int_{0}^{3} (2x - x) dx \]

\[ A = \int_{0}^{3} x dx \]

Проинтегрируем:

\[ A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} \]

Вычислим определенный интеграл, подставив верхний и нижний пределы:

\[ A = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2} \]

Ответ: \( \frac{9}{2} \) (или 4.5).