11. Вычислите интеграл методом подстановки: \( \int \cos^3 x \sin x dx \).

Решение:

Используем метод подстановки. Пусть \( u = \cos x \). Тогда \( du = -\sin x dx \), или \( \sin x dx = -du \).

1. Подставим \( u \) и \( -du \) в интеграл:
   \[ \int \cos^3 x \sin x dx = \int u^3 (-du) = -\int u^3 du \]
2. Вычислим полученный интеграл:
   \[ -\int u^3 du = -\frac{u^{3+1}}{3+1} + C = -\frac{u^4}{4} + C \]
3. Подставим обратно \( u = \cos x \):
   \[ -\frac{(\cos x)^4}{4} + C = -\frac{\cos^4 x}{4} + C \]

Ответ: \( -\frac{\cos^4 x}{4} + C \).