12. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

\[ \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \]

\[ 112^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ} \]

\[ \angle ADC = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ} \]

Угол ADC состоит из углов ADB и BDC.

\[ \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 68^{\circ} \]

Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол ABD опирается на дугу AD.

Угол ACD опирается на дугу AD.

Следовательно, угол ABD = угол ACD.

Угол CAD = 70°. Угол CBD опирается на ту же дугу CD, что и угол CAD. Значит, угол CBD = угол CAD = 70°.

Угол ADB опирается на дугу AB.

Угол ACB опирается на ту же дугу AB. Значит, угол ADB = угол ACB.

Угол BDC опирается на дугу BC.

Угол BAC опирается на ту же дугу BC. Значит, угол BDC = угол BAC.

Мы знаем, что угол ADC = 68°.

В треугольнике ABC: угол BAC + угол ACB + угол ABC = 180°.

угол BAC + угол ACB + 112° = 180°.

угол BAC + угол ACB = 68°.

Так как угол BAC = угол BDC и угол ACB = угол ADB.

В треугольнике ABD: угол ABD + угол ADB + угол BDA = 180°.

Угол CAD = 70°. Этот угол опирается на дугу CD. Угол CBD также опирается на дугу CD, поэтому угол CBD = 70°.

Угол ABC = 112°. угол ABC = угол ABD + угол CBD.

112° = угол ABD + 70°.

угол ABD = 112° - 70° = 42°.

Ответ: 42