12. (10 балл) Найдите значение cosa, если известно, что sina = 1/5 и α ∈ II четверти

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).

Подставим известное значение \( \sin\alpha = \frac{1}{5} \):

\( (\frac{1}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1 \)

\( \frac{1}{25} + \cos^2\alpha = 1 \)

\( \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{25} \)

\( \cos^2\alpha = \frac{24}{25} \)

\( \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} \)

Так как \( \alpha \) лежит во II четверти, значение косинуса отрицательное.

Следовательно, \( \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \).

Ответ: \( -\frac{2\sqrt{6}}{5} \)