18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций y = x², y = 4x - 3 и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Решение:

1. Построение графиков:

Парабола \( y = x^2 \) — стандартная парабола с вершиной в начале координат.

Прямая \( y = 4x - 3 \). Для построения найдем две точки:

• Если \( x = 0 \), то \( y = -3 \). Точка (0; -3).
• Если \( y = 0 \), то \( 4x = 3 \), \( x = 3/4 = 0.75 \). Точка (0.75; 0).

2. Нахождение точек пересечения:

Приравняем уравнения функций: \( x^2 = 4x - 3 \).

Перенесем все члены в одну сторону: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \).

Корни: \( x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).

Точки пересечения: \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

3. Вычисление площади:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций, вычисляется как интеграл разности функций по промежутку их пересечения.

На промежутке \( [1, 3] \) прямая \( y = 4x - 3 \) находится выше параболы \( y = x^2 \) (проверим, например, при \( x=2 \): \( y_{прямой} = 4(2)-3 = 5 \), \( y_{параболы} = 2^2 = 4 \)).

Площадь \( S = \int_{1}^{3} ((4x - 3) - x^2) dx \).

\( S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx \).

\( S = [-\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x]_{1}^{3} = [-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x]_{1}^{3} \).

Вычислим значение выражения в верхнем и нижнем пределах:

При \( x = 3 \): \( -\frac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) = -\frac{27}{3} + 2(9) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 \).

При \( x = 1 \): \( -\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} \).

\( S = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} \).

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{4}{3} \) квадратных единиц.