16. (3 балла) Решите уравнение 2sin²x - 5cosx - 5 = 0.

Решение:

Заменим \( \sin^2 x \) через \( 1 - \cos^2 x \) согласно основному тригонометрическому тождеству:

\( 2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 5 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( 2 - 2\cos^2 x - 5\cos x - 5 = 0 \)

Приведём подобные члены:

\( -2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0 \)

Умножим на -1 для удобства:

\( 2\cos^2 x + 5\cos x + 3 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Получим квадратное уравнение:

\( 2t^2 + 5t + 3 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \)

Найдём корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = -1 \)

\( t_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = -1.5 \)

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos x \).

1. \( \cos x = -1 \). Решением этого уравнения является \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( \cos x = -1.5 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть меньше -1.

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)