15. (3 балла) Решите уравнение \( \sqrt{-x^2 + x + 6} = 1-x \).

Решение:

1. Для того, чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( -x^2 + x + 6 \ge 0 \).
2. Решим соответствующее квадратное уравнение \( -x^2 + x + 6 = 0 \) или \( x^2 - x - 6 = 0 \). Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). Корни: \( x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \). Так как ветви параболы \( y = -x^2 + x + 6 \) направлены вниз, то \( -2 \le x \le 3 \).
3. Также, правая часть уравнения должна быть неотрицательной: \( 1 - x \ge 0 \), откуда \( x \le 1 \).
4. Объединяя условия, получаем: \( -2 \le x \le 1 \).
5. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( -x^2 + x + 6 = (1 - x)^2 \).
6. \( -x^2 + x + 6 = 1 - 2x + x^2 \).
7. Перенесем все члены в одну сторону: \( 2x^2 - 3x - 5 = 0 \).
8. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 \).
9. Корни: \( x_1 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \).
10. Проверим полученные корни на соответствие условию \( -2 \le x \le 1 \).
11. Корень \( x_1 = -1 \) удовлетворяет условию.
12. Корень \( x_2 = 2.5 \) не удовлетворяет условию.

Ответ: -1