11) $$ \left( 3\frac{1}{3} \right)^7 : \left( 3\frac{1}{3} \right)^5 \cdot 3\frac{1}{3} = $$

Решение:

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \).

Теперь используем свойства степеней: \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

1. Выполняем деление: \( \left( \frac{10}{3} \right)^7 : \left( \frac{10}{3} \right)^5 = \left( \frac{10}{3} \right)^{7-5} = \left( \frac{10}{3} \right)^2 \).
2. Умножаем: \( \left( \frac{10}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{10}{3} \right)^1 = \left( \frac{10}{3} \right)^{2+1} = \left( \frac{10}{3} \right)^3 \).
3. Вычисляем результат: \( \left( \frac{10}{3} \right)^3 = \frac{10^3}{3^3} = \frac{1000}{27} \).
4. Преобразуем в смешанное число: \( \frac{1000}{27} = 37 \frac{1}{27} \).

Ответ: $$37\frac{1}{27}$$