10. Творческое задание. Придумайте пример системы уравнений с у = √х и у = х², постройте графики и найдите решение.

Творческое задание:

Придумаем систему уравнений, включающую функции y = √x и y = x², построим их графики и найдем точки пересечения.

Система уравнений:

• y = √x
• y = x²

Анализ функций:

• y = √x: Эта функция определена только для x ≥ 0. Ее график начинается в точке (0,0) и идет вверх и вправо, но растет медленнее, чем прямая y = x.
• y = x²: Эта функция определена для всех действительных x. Ее график — парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх.

Построение графиков:

Так как y = √x определена только для x ≥ 0, мы будем искать точки пересечения только в первой координатной четверти (где x ≥ 0 и y ≥ 0).

• Для y = √x: (0,0), (1,1), (4,2).
• Для y = x²: (0,0), (1,1), (2,4).

Нахождение точек пересечения:

Из графиков видно, что:

• Обе функции проходят через точку (0, 0).
• Обе функции проходят через точку (1, 1).

Проверим, есть ли другие точки пересечения. Мы ищем решения уравнения √x = x². Возведем обе части в квадрат (учитывая, что x ≥ 0):

(√x)² = (x²)²

x = x⁴

x⁴ - x = 0

x(x³ - 1) = 0

Это дает нам два возможных случая:

1. x = 0. Подставляем в исходные уравнения: y = √0 = 0 и y = 0² = 0. Точка: (0, 0).
2. x³ - 1 = 0, что означает x³ = 1. Единственное действительное решение — x = 1. Подставляем в исходные уравнения: y = √1 = 1 и y = 1² = 1. Точка: (1, 1).

Ответ: Система имеет два решения: (0, 0) и (1, 1).