1. Вычислить интеграл: a) \(\int_{-1}^{2} 2x^3 dx\), b) \(\int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx\)

Решение:

a)

Для вычисления интеграла \(\int_{-1}^{2} 2x^3 dx\):

1. Найдём первообразную для \( 2x^3 \). Первообразная \( F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{2}x^4 \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. \( \int_{-1}^{2} 2x^3 dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 \right]_{-1}^{2} = \frac{1}{2}(2^4) - \frac{1}{2}((-1)^4) = \frac{1}{2}(16) - \frac{1}{2}(1) = 8 - 0.5 = 7.5 \).

b)

Для вычисления интеграла \(\int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx\):

1. Найдём первообразную для \( \sin x \). Первообразная \( F(x) = -\cos x \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. \( \int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{\pi}^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos(\pi)) = (-1) - (-(-1)) = -1 - 1 = -2 \).

Ответ: a) 7.5, b) -2.