Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. Теорема, обратная теореме Пифагора (формулировка и доказательство). Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8см., гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°:

• sin(30°) = 1/2
• cos(30°) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• tan(30°) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
• sin(45°) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• cos(45°) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• tan(45°) = 1
• sin(60°) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• cos(60°) = 1/2
• tan(60°) = \( \sqrt{3} \)

Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Задача:

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см, а гипотенуза равна 10 см. Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) см². Также площадь треугольника можно вычислить как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе: \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h \). Приравниваем два выражения для площади: \( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 24 \).

Решаем уравнение относительно \( h \): \( h = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8 \) см.

Ответ: 4.8 см.