1. Трапеция, определение, виды трапеций. Свойство равнобедренной трапеции. 2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, формулировка и доказательство

1. Трапеция и ее свойства

• Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами.
• Виды трапеций:
  • Равнобедренная трапеция (или равнобокая) — трапеция, у которой боковые стороны равны.
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
• Свойство равнобедренной трапеции:
  • Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.
  • Диагонали равнобедренной трапеции равны.

2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки

• Формулировка: Если из одной точки проведены две касательные к окружности, то отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.
• Доказательство:
  1. Пусть из точки A вне окружности проведены касательные AB и AC, где B и C — точки касания.
  2. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle AOC\), где O — центр окружности.
  3. OB и OC — радиусы окружности, проведенные в точки касания, поэтому углы \(\angle ABO\) и \(\angle ACO\) прямые (по свойству касательной к окружности).
  4. AO — общая сторона для обоих треугольников.
  5. \(OB = OC\) (как радиусы одной окружности).
  6. Следовательно, \(\triangle AOB = \triangle AOC\) по катету и гипотенузе.
  7. Из равенства треугольников следует, что \(AB = AC\), что и требовалось доказать.