1. Квадрат. Свойства квадрата. 2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку (доказательство). 3. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

1. Квадрат. Свойства квадрата.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы прямые.
• Диагонали равны.
• Диагонали перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство:

Пусть дан отрезок AB и серединный перпендикуляр CD к этому отрезку.

Пусть точка E - произвольная точка на серединном перпендикуляре CD.

Рассмотрим треугольники ACE и BCE.

У них AC = BC (так как C - середина отрезка AB), EC - общая сторона, угол ACE равен углу BCE (так как CD - перпендикуляр).

Следовательно, треугольники ACE и BCE равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что AE = BE.

Следовательно, точка E равноудалена от концов отрезка AB.

3. Дано: диагонали ромба равны 10 см и 24 см.

Найти: сторону и площадь ромба.

Решение:

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.

Катеты этих треугольников равны половине диагоналей, то есть 5 см и 12 см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу (сторону ромба):

$$ a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$

Следовательно, сторона ромба равна 13 см.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 $$

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 $$

Следовательно, площадь ромба равна 120 см².

Ответ: сторона ромба равна 13 см, площадь ромба равна 120 см².