ж) \(\frac{32}{x^3-2x^2-x+2} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x+1}\)

Решение: 1. **Разложим знаменатель \(x^3 - 2x^2 - x + 2\) на множители методом группировки:** * \(x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - 1(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)\) 2. **Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:** * \(\frac{32}{(x-1)(x+1)(x-2)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x+1}\) 3. **Найдем общий знаменатель:** * Общий знаменатель: \((x-1)(x+1)(x-2)\) 4. **Приведем дроби к общему знаменателю:** * \(\frac{32}{(x-1)(x+1)(x-2)} + \frac{x+1}{(x-1)(x+1)(x-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)}\) 5. **Отбросим знаменатель (т.к. он ненулевой), и упростим числитель:** * \(32 + x + 1 = (x - 1)(x - 2)\) * \(x + 33 = x^2 - 3x + 2\) 6. **Перенесем все в одну сторону и упростим:** * \(0 = x^2 - 4x - 31\) 7. **Решим квадратное уравнение:** * \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -31\) * \(x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-31)}}{2(1)}\) * \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 124}}{2}\) * \(x = \frac{4 \pm \sqrt{140}}{2}\) * \(x = \frac{4 \pm 2\sqrt{35}}{2}\) * \(x = 2 \pm \sqrt{35}\) 8. **Найдем корни:** * \(x_1 = 2 + \sqrt{35}\) * \(x_2 = 2 - \sqrt{35}\) 9. **Проверим ОДЗ (область допустимых значений):** Знаменатель не должен быть равен 0: * \(x
eq 1\) * \(x
eq -1\) * \(x
eq 2\) 10. **Оба корня удовлетворяют ОДЗ.** Ответ: \(x = 2 + \sqrt{35}\), \(x = 2 - \sqrt{35}\)