е) \(\frac{3}{8y^3+1} - \frac{1}{2y+1} = \frac{y+3}{4y^2-2y+1}\)

Решение: 1. **Разложим знаменатели на множители:** * \(8y^3 + 1 = (2y+1)(4y^2 - 2y + 1)\) 2. **Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:** \(\frac{3}{(2y+1)(4y^2-2y+1)} - \frac{1}{2y+1} = \frac{y+3}{4y^2-2y+1}\) 3. **Найдем общий знаменатель:** Общий знаменатель: \((2y+1)(4y^2-2y+1)\) 4. **Приведем дроби к общему знаменателю:** \(\frac{3}{(2y+1)(4y^2-2y+1)} - \frac{4y^2-2y+1}{(2y+1)(4y^2-2y+1)} = \frac{(y+3)(2y+1)}{(2y+1)(4y^2-2y+1)}\) 5. **Отбросим знаменатель (т.к. он ненулевой), и упростим числитель:** \(3 - (4y^2 - 2y + 1) = (y+3)(2y+1)\) \(3 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3\) \(-4y^2 + 2y + 2 = 2y^2 + 7y + 3\) 6. **Перенесем все в одну сторону и упростим:** \(0 = 6y^2 + 5y + 1\) 7. **Решим квадратное уравнение:** \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 6\), \(b = 5\), \(c = 1\) \(y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(6)(1)}}{2(6)}\) \(y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12}\) \(y = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{12}\) \(y = \frac{-5 \pm 1}{12}\) 8. **Найдем корни:** * \(y_1 = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\) * \(y_2 = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\) 9. **Проверим ОДЗ (область допустимых значений):** Знаменатель не должен быть равен 0: * \(2y + 1
eq 0 \Rightarrow y
eq -\frac{1}{2}\) * \(4y^2 - 2y + 1
eq 0\) (это выражение всегда положительно, т.к. дискриминант отрицательный) 10. **Корень \(y_2 = -\frac{1}{2}\) не удовлетворяет ОДЗ.** Ответ: \(y = -\frac{1}{3}\)