Задание 4. Решите уравнения: a) ctg x = 1/√3 б) log₃( (x+1)/2 ) = log₃( (-3x+5)/2 ) в) 4^(x-2) = 64

Решение:

1. Решим уравнение \( сtg x = \frac{1}{\sqrt{3}} \>.

Известно, что \( сtg\left\(\frac{\pi}{3}\right\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \>. Общее решение уравнения \( сtg x = a \> дается формулой \( x = \u0441tg a + \pi n \>, где \( n \in \mathbb{Z} \>.

Следовательно, \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n \>, где \( n \in \mathbb{Z} \>.

2. Решим уравнение \( \log_3\left\(\frac{x+1}{2}\right\) = \(\log\)_3\(\left\)\(\frac{-3x+5}{2}\right\) \>.

Поскольку основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\[ \frac{x+1}{2} = \frac{-3x+5}{2} \]\[ x+1 = -3x+5 \]\[ 4x = 4 \]\[ x = 1 \>.

Проверим условие существования логарифмов (аргумент должен быть положительным):

\( \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 > 0 \>.

\( \frac{-3(1)+5}{2} = \frac{-3+5}{2} = \frac{2}{2} = 1 > 0 \>.

Значит, \( x = 1 \> является решением.

3. Решим уравнение \( 4^{x-2} = 64 \>.

Представим число 64 как степень числа 4:

\( 64 = 4^3 \>.

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 4^{x-2} = 4^3 \]\[ x-2 = 3 \]\[ x = 5 \>.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n \>, где \\(n \in \mathbb{Z} \>; б\) \( x = 1 \>; в) \( x = 5 \>.