Задание 3. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры ограниченной линиями: y=x²+2, y=0, x=1, x=2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y=f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x=a \) и \( x=b \>, вычисляется по формуле определенного интеграла: \( S = \(\int\)_a^b f(x) dx \>.

В данном случае \( f(x) = x^2 + 2 \>, \( a = 1 \>, \( b = 2 \>.

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = \int_1^2 (x^2 + 2) dx \]\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^2 \]\[ S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 \right) \]\[ S = \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) \]\[ S = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} - \frac{1}{3} - \frac{6}{3} \]\[ S = \frac{8 + 12 - 1 - 6}{3} = \frac{13}{3} \]

Ответ: \( \(\frac{13}{3}\) \>.