Задача 7 (Пирамида). В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 7 (Пирамида).

а) Высоту пирамиды:

Пусть сторона основания равна a, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°. Высота пирамиды (h) - это катет прямоугольного треугольника, где гипотенуза - боковое ребро, а другой катет - радиус описанной окружности вокруг основания. В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Тогда высоту можно найти как:

$$h = R \cdot tg(60^\circ) = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = a$$

б) Площадь боковой поверхности пирамиды:

Апофема l (высота боковой грани) может быть найдена из прямоугольного треугольника, где высота пирамиды - один катет, апофема - гипотенуза, а радиус вписанной окружности - другой катет. Радиус вписанной окружности в правильном треугольнике равен $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$.

Из теоремы Пифагора:

$$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{12}} = a\sqrt{\frac{13}{12}}$$

Площадь одной боковой грани:

$$S_{грани} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} a (a\sqrt{\frac{13}{12}}) = \frac{a^2}{2} \sqrt{\frac{13}{12}}$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{a^2}{2} \sqrt{\frac{13}{12}} = \frac{3a^2}{2} \sqrt{\frac{13}{12}} = \frac{a^2\sqrt{39}}{4}$$

Ответ: а) $$h = a$$, б) $$S_{бок} = \frac{a^2\sqrt{39}}{4}$$