13.(2x-1)(x²-x-2) ≥ 0 /z: (x+5)³ (3-x)"

Решаем неравенство $$\frac{(2x-1)(x^2-x-2)}{(x+5)^3(3-x)^4} \ge 0$$ методом интервалов:

1. Находим корни числителя: $$(2x-1)(x^2-x-2) = 0$$. $$2x-1 = 0$$ или $$x^2-x-2 = 0$$.

Корни: $$x = 1/2$$ и $$x = -1$$, $$x = 2$$ (по теореме Виета $$x_1+x_2 = 1$$, $$x_1x_2 = -2$$).

1. Находим корни знаменателя: $$(x+5)^3(3-x)^4 = 0$$. Корни: $$x = -5$$ и $$x = 3$$.
2. Отмечаем корни на числовой прямой:

   -      +      -      +      +      -
----(-5)----(-1)----(1/2)----(2)----(3)---->

• $$x < -5$$: выбираем $$x = -6$$, тогда $$\frac{(2(-6)-1)((-6)^2-(-6)-2)}{((-6)+5)^3(3-(-6))^4} = \frac{(-13)(36+6-2)}{(-1)^3(9)^4} = \frac{(-13)(40)}{-1(6561)} > 0$$, но из-за нечетной степени в числителе (-)(+)/(-) = -, из-за четной степени в знаменателе (+)/(+) знак меняется на (-)/(-) = -
• $$-5 < x < -1$$: выбираем $$x = -2$$, тогда $$\frac{(2(-2)-1)((-2)^2-(-2)-2)}{((-2)+5)^3(3-(-2))^4} = \frac{(-5)(4+2-2)}{(3)^3(5)^4} = \frac{(-5)(4)}{27(625)} < 0$$, знак (+)
• $$-1 < x < 1/2$$: выбираем $$x = 0$$, тогда $$\frac{(2(0)-1)((0)^2-(0)-2)}{((0)+5)^3(3-(0))^4} = \frac{(-1)(-2)}{(5)^3(3)^4} = \frac{2}{125(81)} > 0$$, знак (-)
• $$1/2 < x < 2$$: выбираем $$x = 1$$, тогда $$\frac{(2(1)-1)((1)^2-(1)-2)}{((1)+5)^3(3-(1))^4} = \frac{(1)(1-1-2)}{(6)^3(2)^4} = \frac{-2}{216(16)} < 0$$, знак (+)
• $$2 < x < 3$$: выбираем $$x = 2.5$$, тогда $$\frac{(2(2.5)-1)((2.5)^2-(2.5)-2)}{((2.5)+5)^3(3-(2.5))^4} = \frac{(4)(6.25-2.5-2)}{(7.5)^3(0.5)^4} = \frac{(4)(1.75)}{(7.5)^3(0.5)^4} > 0$$, знак (+)
• $$x > 3$$: выбираем $$x = 4$$, тогда $$\frac{(2(4)-1)((4)^2-(4)-2)}{((4)+5)^3(3-(4))^4} = \frac{(7)(16-4-2)}{(9)^3(-1)^4} = \frac{(7)(10)}{729} > 0$$, знак (-)

Так как требуется $$\frac{(2x-1)(x^2-x-2)}{(x+5)^3(3-x)^4} \ge 0$$, выбираем интервалы, где знак плюс или равно нулю.

Важно: $$x = -1$$, $$x = 1/2$$, и $$x = 2$$ входят в решение, так как неравенство нестрогое. $$x = -5$$ и $$x = 3$$ не входят, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: $$x \in (-5; -1] \cup [1/2; 2]$$